如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD \perp AB$，$\overrightarrow {BC} = \sqrt 3 \overrightarrow {BD} $，$\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 1$，则 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = $ ．
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3 $
【解析】
根据向量的换底公式，有\[\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\sqrt 3\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right),\]于是\[\overrightarrow{AC}=\sqrt 3\overrightarrow {AD}+\left(1-\sqrt 3\right)\overrightarrow{AB},\]因此\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}&=\sqrt 3\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow{AD}+\left(1-\sqrt 3\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\\
&=\sqrt 3\cdot AD^2\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]
&=\sqrt 3\cdot AD^2\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
