设 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in{\mathbb{R}}$，$n\geqslant 3$．若 $p:a_1,a_2,\cdots,a_n$ 成等比数列；$q:\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2\right)\left(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2\right)=\left(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n\right)^2$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题需要用等比数列的基本量进行推导．若 $p $ 成立，则\[ \begin{split}&\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2\right)\left(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2\right)\\&\overset{\left[a\right]}=a_1^2\left(1+q^2+\cdots +q^{2n-4}\right)\cdot a_2^2\left(1+q^2+\cdots +q^{2n-4}\right) \\&=a_1^2a_2^2\left(1+q^2+\cdots +q^{2n-4}\right)^2,\end{split}\]（推导中用到：[a]）而 $ \left(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n\right)^2 =\left(a_1a_2\right)^2\left(1+q^2+\cdots +q^{2n-4}\right)^2$，故 $q $ 成立；
若 $ q $ 成立，取\[ a_1=a_2=\cdots =a_n=0, \]满足 $ q $，但 $p $ 不成立．
若 $ q $ 成立，取\[ a_1=a_2=\cdots =a_n=0, \]满足 $ q $，但 $p $ 不成立．
题目
答案
解析
备注
