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已知符号函数 ${\mathrm{sgn}} x =\begin{cases}
1,&x>0,\\
0,&x=0,\\
-1,&x<0,
\end{cases}$ $f\left(x\right)$ 是 ${\mathbb{R}}$ 上的增函数，$g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(ax\right)\left(a>1\right)$，则 \((\qquad)\)
A: ${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]={\mathrm{sgn}} x$
B: ${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]={\mathrm{sgn}}\left[f\left(x\right)\right]$
C: ${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=-{\mathrm{sgn}} x$
D: ${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=-{\mathrm{sgn}}\left[f\left(x\right)\right]$
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    分段函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    复合函数
  • 题型
    >
    函数
【答案】
C
【解析】
注意对复合函数的讨论．当 $x>0$ 时，$x<ax$，$g\left(x\right)<0$，${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=-1$；同理可得，当 $x=0$ 时，${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=0$；当 $x<0$ 时，${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=1$．
对比 ${\mathrm{sgn}} x$ 可得 ${\mathrm{sgn}}\left[g\left(x\right)\right]=-{\mathrm{sgn}} x$．
题目 答案 解析 备注
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