将离心率为 $e_1$ 的双曲线 $C_1$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b\left(a\neq b\right)$ 同时增加 $m\left(m>0\right)$ 个单位长度，得到离心率为 $e_2$ 的双曲线 $C_2$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
表示出双曲线的离心率后，注意结合不等式中比较大小的方法来解决．由题可得 $ e_1=\sqrt{1+\left(\dfrac ba\right)^2} $，$ e_2=\sqrt{1+\left(\dfrac{b+m}{a+m}\right)^2} $．
$\because$ $ \dfrac{b+m}{a+m}-\dfrac ba =\dfrac{m\left(a-b\right)}{a\left(a+m\right)}$，$ a>0 $，$ b>0 $，$ m>0$，且 $a\ne b $，
$\therefore$ 当 $a>b $ 时，$ \dfrac{b+m}{a+m}>\dfrac ba>0 $，
$\therefore$ $ \left({ \dfrac{b+m}{a+m}}\right)^2>{\left(\dfrac ba \right)}^2$，$ e_2>e_1 $；
同理可得当 $a<b$ 时，$e_1>e_2$．
$\because$ $ \dfrac{b+m}{a+m}-\dfrac ba =\dfrac{m\left(a-b\right)}{a\left(a+m\right)}$，$ a>0 $，$ b>0 $，$ m>0$，且 $a\ne b $，
$\therefore$ 当 $a>b $ 时，$ \dfrac{b+m}{a+m}>\dfrac ba>0 $，
$\therefore$ $ \left({ \dfrac{b+m}{a+m}}\right)^2>{\left(\dfrac ba \right)}^2$，$ e_2>e_1 $；
同理可得当 $a<b$ 时，$e_1>e_2$．
题目
答案
解析
备注
