在正三棱锥 $P-ABC$ 中，$M$ 为 $\triangle{ABC}$（含边界）一动点，且点 $M$ 到三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的距离成等差数列，则点 $M$ 的轨迹是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
一条线段
【解析】
因为三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的面积相等，且点 $M$ 到这三个侧面的距离成等差数列，所以$$V_{M-PAB}+V_{M-PCA}=2V_{M-PBC},$$故$$V_{P-ABC}=3V_{M-PBC},$$即$$V_{M-PBC}=\dfrac 13 V_{A-PBC},$$则点 $M$ 的轨迹是经过 $\triangle{ABC}$ 的重心并与 $BC$ 平行的一条线段．
题目
答案
解析
备注
