在直角梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$CD=1$，$BC=a$，$P$ 为线段 $AD$（含端点）上的一个动点．设 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=y$，对于函数 $y=f(x)$，给出以下三个结论：
① $\forall a\in (0,+\infty)$，都有 $f(1)=1$ 成立；
② $\forall a\in (0,+\infty)$，函数 $f(x)$ 的最大值都等于 $4$；
③ 当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1,4]$．
所有正确结论的序号是 ．
① $\forall a\in (0,+\infty)$，都有 $f(1)=1$ 成立；
② $\forall a\in (0,+\infty)$，函数 $f(x)$ 的最大值都等于 $4$；
③ 当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1,4]$．
所有正确结论的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
如图，将 $\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ 正交分解，则有$$\begin{split} \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=&\left(\overrightarrow t_1+\overrightarrow t_2\right)\cdot\left(\overrightarrow t_1+\overrightarrow t_3\right)\\=&\overrightarrow t_1\cdot\overrightarrow t_1+\overrightarrow t_2\cdot\overrightarrow t_3\\=&(2-x)^2-a^2x(1-x).\end{split} $$
此时容易知道命题 ①② 正确，如中图．
考虑 ③，当 $a=2$ 时，由上式 $f(x)=5x^2-8x+4$，当 $x\in [0,1]$ 时，其值域为 $\left[\dfrac 45,4\right]$．事实上，只有 $a\leqslant\sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 的值域才为 $[1,4]$．因此命题 ③ 错误．
此时容易知道命题 ①② 正确，如中图．考虑 ③，当 $a=2$ 时，由上式 $f(x)=5x^2-8x+4$，当 $x\in [0,1]$ 时，其值域为 $\left[\dfrac 45,4\right]$．事实上，只有 $a\leqslant\sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 的值域才为 $[1,4]$．因此命题 ③ 错误．
题目
答案
解析
备注
