数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式 $ a_n=n\cos {\dfrac{n\mathrm \pi }{2}}+1 $，前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则 $ S_{2012}= $ ．
【难度】
【出处】
2012年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
$ 3018 $
【解析】
根据题意，有\[a_n=\begin{cases} 1,&n\equiv 1\pmod 4,\\
-n+1,&n\equiv 2\pmod 4,\\
1,&n\equiv 3\pmod 4,\\
n+1,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]于是\[a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6,n\in\mathbb N^{\ast},\]进而\[S_{2012}=503\cdot 6=3018.\]
-n+1,&n\equiv 2\pmod 4,\\
1,&n\equiv 3\pmod 4,\\
n+1,&n\equiv 0\pmod 4,\end{cases}\]于是\[a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6,n\in\mathbb N^{\ast},\]进而\[S_{2012}=503\cdot 6=3018.\]
题目
答案
解析
备注
