题目 已知 $n$ 为正整数，集合 $M=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$，则满足对一切 $x\in M$，均有 $f(f(x))=f(x)$ 的映射 $f:M\to \mathbb N^{\ast}$ 的个数为<nn> </nn>．（列出式子即可，结果不必化简） 答案 $\displaystyle \sum_{k=1}^n{\rm C}_n^k\cdot k^{n-k}$ 解析 映射 $f$ 满足任意象都映射到自身．按映射 $f$ 的象组成的集合 $N$ 的元素个数分类，当 $N$ 中包含 $k$ 个元素时，有\[f(x)\begin{cases} =x,&x\in N,\\ \in N,&x\in M-N,\end{cases}\]于是所求映射个数为\[\sum_{k=1}^n{\rm C}_n^k\cdot k^{n-k}.\] 备注