设平面向量 $\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$ 满足 $\left|\overrightarrow a\right|,\left|\overrightarrow b\right|,\left|\overrightarrow a +\overrightarrow b\right|\in [1,3]$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$
【解析】
设平面内 $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow b$，则\[\left|\overrightarrow {AB}\right|=\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|,\]于是问题转化为
新问题 在圆环 $1\leqslant r\leqslant 3$ 上的两点 $A$、$B$ 之间的距离在 $[1,3]$ 之间，求 $-\left(\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}\right)$ 的取值范围．
应用极化恒等式，有$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OM^2-\dfrac 14AB^2,$$其中 $M$ 为线段 $AB$ 的中点．显然有 $1\leqslant AB^2\leqslant 9$，接下来考虑 $OM^2$ 的取值范围．
显然当 $A$、$B$ 位于半径为 $3$ 的圆周上，且 $AB$ 的长度为 $1$ 时 $OM^2$ 取得最大值，为 $3^2-\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac{35}4$．从而 $OM^2$ 的取值范围是 $0\leqslant OM^2\leqslant \dfrac {35}4$．因此$$0-\dfrac 94\leqslant OM^2-\dfrac 14AB^2\leqslant \dfrac{35}4-\dfrac 14,$$从而$$-\dfrac 94\leqslant \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}\leqslant \dfrac{17}2,$$即 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．
应用极化恒等式，有$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OM^2-\dfrac 14AB^2,$$其中 $M$ 为线段 $AB$ 的中点．显然有 $1\leqslant AB^2\leqslant 9$，接下来考虑 $OM^2$ 的取值范围．
显然当 $A$、$B$ 位于半径为 $3$ 的圆周上，且 $AB$ 的长度为 $1$ 时 $OM^2$ 取得最大值，为 $3^2-\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac{35}4$．从而 $OM^2$ 的取值范围是 $0\leqslant OM^2\leqslant \dfrac {35}4$．因此$$0-\dfrac 94\leqslant OM^2-\dfrac 14AB^2\leqslant \dfrac{35}4-\dfrac 14,$$从而$$-\dfrac 94\leqslant \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}\leqslant \dfrac{17}2,$$即 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．
题目
答案
解析
备注
