设 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 为两个非零向量，且 $\left|\overrightarrow a\right|=2$，$\left|\overrightarrow {a}+2\overrightarrow {b}\right|=2$，则 $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2$
【解析】
设 $x=\overrightarrow a$，$y=\overrightarrow a+2\overrightarrow b$，则\[\begin{cases}\overrightarrow a+\overrightarrow b=\dfrac 12x+\dfrac 12y,\\
\overrightarrow b=-\dfrac 12x+\dfrac 12y,\end{cases}\]于是\[\begin{split} \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|&=\left|\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|+\left|-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|\\
&\leqslant \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac12 x+\dfrac 12y\right)^2+\left(-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right)^2}\\
&=\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 12x^2+\dfrac 12y^2}\\
&=2\sqrt 2,\end{split}\]等号当\[\left|\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|=\left|-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|\]时取得．因此所求代数式的最大值是 $2\sqrt 2$．
\overrightarrow b=-\dfrac 12x+\dfrac 12y,\end{cases}\]于是\[\begin{split} \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|&=\left|\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|+\left|-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|\\
&\leqslant \sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac12 x+\dfrac 12y\right)^2+\left(-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right)^2}\\
&=\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 12x^2+\dfrac 12y^2}\\
&=2\sqrt 2,\end{split}\]等号当\[\left|\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|=\left|-\dfrac 12x+\dfrac 12y\right|\]时取得．因此所求代数式的最大值是 $2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
