设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，不妨设\[(4a^2-4)+4a{\rm i}=\left[(4b^2-4)+4b{\rm i}\right]\cdot \left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}\right),\]即\[\begin{cases} 2a^2-2=b^2-1-\sqrt 3b,\\ 2a=b+(b^2-1)\sqrt 3,\end{cases}\]即\[\begin{cases} a=\dfrac 12\left(-\sqrt 3+b+\sqrt 3b^2\right),\\ 3b^4+2\sqrt 3b^3-7b^2+1=0.\end{cases}\]考虑到过 $C$ 作斜率为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$ 的直线\[l:x=-\sqrt 3y+4\]与抛物线相交可得两组平凡解，于是关于 $b$ 的 $4$ 次方程左侧必然包含因式\[(4b)^2+4\sqrt 3\cdot 4b-16,\]从而该方程即\[\left(b^2+\sqrt 3b-1\right)\cdot\left(3b^2-\sqrt 3b-1\right)=0,\]综上所述，符合题意的三角形共有 $4$ 个．