抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A,B$ 是抛物线上的两个动点，且满足 $\angle AFB=\theta$．设线段 $AB$ 的中点 $M$ 在 $l$ 上的投影为 $N$，则 $\dfrac{|MN|}{|AB|}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2\sin\dfrac{\theta}2}$
【解析】
如图，设 $FA=a$，$FB=b$．
根据题意，有\[|MN|=\dfrac {a+b}2,\]在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理，有\[|AB|^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\theta,\]于是\[\begin{split}\dfrac{|MN|}{|AM|}&=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2-2ab\cos\theta}}\\
&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{2(1+\cos\theta)}{\dfrac ab+\dfrac ba-2\cos\theta}}\\
&\leqslant \dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}\\
&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac{\theta}2},\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1}{2\sin\dfrac{\theta}2}$．
根据题意，有\[|MN|=\dfrac {a+b}2,\]在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理，有\[|AB|^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\theta,\]于是\[\begin{split}\dfrac{|MN|}{|AM|}&=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2-2ab\cos\theta}}\\&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{2(1+\cos\theta)}{\dfrac ab+\dfrac ba-2\cos\theta}}\\
&\leqslant \dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}\\
&=\dfrac{1}{2\sin\dfrac{\theta}2},\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1}{2\sin\dfrac{\theta}2}$．
题目
答案
解析
备注
