抛物线 $y^{2}=2px (p>0)$ 的焦点为 $F$，已知点 $A,B$ 为抛物线上的两个动点，且满足 $\angle AFB=120^{\circ}$，过弦 $AB$ 的中点 $M$ 作抛物线准线的垂线 $MN$，垂足为 $N$，则 $\dfrac{|MN|}{|AB|}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}{3}$
【解析】
设 $FA=a$，$FB=b$．根据题意，有\[|MN|=\dfrac {a+b}2,\]在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理，有\[|AB|^2=a^2+b^2+ab,\]于是\[\begin{split}\dfrac{|MN|}{|AM|}&=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}}\\
&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac ba+1}}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac ba+1}}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
