已知 $n$ 是正整数，集合 $M=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2^n$
【解析】
设\[f(x)=\prod_{k=1}^n\left(1+x^k\right)\]则题中所求非空子集的个数为 $f(x)$ 的展开式中 $x$ 的奇次项的系数之和，为\[\dfrac {f(1)-f(-1)}2=2^n.\]
题目
答案
解析
备注
