已知 $n$ 是正整数，集合 $M=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2^n$
【解析】
记符合题意的非空子集组成集合 $P$，集合 $M$ 的所有子集组成集合 $N$，则集合 $P$ 与集合 $\complement_{N}P$，那么存在一一映射\[f:P\to \complement_{N}P,x\mapsto \begin{cases} x-\{1\},&1\in x,\\ x\cup\{1\},&1\notin x.\end{cases}\]因此\[{\rm Card}(P)={\rm Card}\left(\complement_{N}P\right)=\dfrac 12{\rm Card}(N)=2^n.\]
题目
答案
解析
备注
