已知 $\lambda$ 是非零实数，且\[(1+\lambda x)^{n}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n,\]则 $\dfrac{a_1}2+\dfrac{a_2}3+\cdots +\dfrac{a_n}{n+1}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{(1+\lambda)^{n+1}-1}{\lambda (n+1)}-1$
【解析】
根据题意，在原式中令 $x=0$，可得 $a_0=1$，又$$\int_{0}^{x}(1+\lambda x)^{n}{\mathrm d}x=a_0x+\dfrac{a_1}2x^2+\dfrac{a_2}3x^3+\cdots +\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1},$$且\[\int_{0}^{x}(1+\lambda x)^{n}{\mathrm d}x=\dfrac{1}{\lambda}\cdot \dfrac 1{n+1}(1+\lambda x)^{n+1}-\dfrac{1}{\lambda}\cdot \dfrac 1{n+1},\]令 $x=1$，可得\[a_0+\dfrac {a_1}2+\dfrac{a_2}3+\cdots+\dfrac{a_n}{n+1}=\dfrac{(1+\lambda)^{n+1}-1}{\lambda (n+1)},\]因此\[\dfrac {a_1}2+\dfrac{a_2}3+\cdots+\dfrac{a_n}{n+1}=\dfrac{(1+\lambda)^{n+1}-1}{\lambda (n+1)}-1.\]
题目
答案
解析
备注
