设函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac 1p,&x=\dfrac qp,\\ 0,&x\ne \dfrac qp,\end{cases}$ 其中 $p,q$ 互质（素），且 $p\geqslant 2$．则满足 $x\in [0,1]$，且 $f(x)>\dfrac 15$ 的 $x$ 值的个数是 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛陕西省预赛一试
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
显然 $x=\dfrac qp$（否则 $f(x)=0$ 不满足条件）．
由$$f(x)=\dfrac 1p>\dfrac 15,$$得 $p<5$，即 $p=2,3,4$．
当 $p=2$ 时，$x=\dfrac 12$；
当 $p=3$ 时，$x=\dfrac 13,\dfrac 23$；
当 $p=4$ 时，$x=\dfrac 14,\dfrac 34$．
综上知，满足条件的 $x$ 值共有 $5$ 个．
由$$f(x)=\dfrac 1p>\dfrac 15,$$得 $p<5$，即 $p=2,3,4$．
当 $p=2$ 时，$x=\dfrac 12$；
当 $p=3$ 时，$x=\dfrac 13,\dfrac 23$；
当 $p=4$ 时，$x=\dfrac 14,\dfrac 34$．
综上知，满足条件的 $x$ 值共有 $5$ 个．
题目
答案
解析
备注
