对于 $c > 0$，当非零实数 $a,b$ 满足 $4{a^2}- 2ab + 4{b^2}- c = 0$ 且使 $\left|{2a + b}\right|$ 最大时，$\dfrac{3}{a}- \dfrac{4}{b}+ \dfrac{5}{c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
$-2$
【解析】
我们希望通过将 $4a^2-2ab+4b^2=c$ 配方成$$\lambda (2a+b)^2+(\cdots )^2=c$$的形式来探索何时 $|2a+b|$ 最大．为此，只需要 $c-\lambda (2a+b)^2$ 即$$(4-4\lambda)a^2+(-2-4\lambda)ab+(4-\lambda)b^2$$的判别式（视 $a$ 为主元）$$\Delta=12b^2(8\lambda-5)=0,$$即 $\lambda=\dfrac 58$．
因此有$$\dfrac 58(2a+b)^2+\dfrac 32\left(a-\dfrac 32b\right)^2=c,$$因此当 $a=\dfrac 32b$ 时 $|2a+b|$ 取得最大值，此时可得 $c=10b^2$．
将 $a=\dfrac 32b$ 和 $c=10b^2$ 代入，可得$$\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c=\dfrac 12\cdot\dfrac 1{b^2}-2\cdot\dfrac 1b\geqslant -2,$$当且仅当 $\dfrac 1b=2$ 时取得等号，因此所求代数式的最小值为 $-2$．
因此有$$\dfrac 58(2a+b)^2+\dfrac 32\left(a-\dfrac 32b\right)^2=c,$$因此当 $a=\dfrac 32b$ 时 $|2a+b|$ 取得最大值，此时可得 $c=10b^2$．
将 $a=\dfrac 32b$ 和 $c=10b^2$ 代入，可得$$\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c=\dfrac 12\cdot\dfrac 1{b^2}-2\cdot\dfrac 1b\geqslant -2,$$当且仅当 $\dfrac 1b=2$ 时取得等号，因此所求代数式的最小值为 $-2$．
题目
答案
解析
备注
