对于 $c > 0$，当非零实数 $a,b$ 满足 $4{a^2}- 2ab + 4{b^2}- c = 0$ 且使 $\left|{2a + b}\right|$ 最大时，$\dfrac{3}{a}- \dfrac{4}{b}+ \dfrac{5}{c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
$-2$
【解析】
由 $4{a^2} - 2ab + {4b^2} - c = 0$ 及柯西不等式得\[\begin{split} c&=\left(2a-\dfrac b2\right)^2+\dfrac {9b^2}4\cdot \dfrac{5}3\\
&\geqslant \dfrac{\left(2a-\dfrac b2+\dfrac {3b}2\right)^2}{1+ \dfrac{3}{5}}\\
&=\dfrac{5(2a+b)^2}{8},\end{split}\]当且仅当\[\dfrac{2a-\dfrac b2}1=\dfrac{\dfrac{3b}2}{\dfrac{3}{5}},\]即 $a = \dfrac 32b$ 时取等号．此时 $c = 10b^2$，从而$$\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c=\dfrac 12\cdot\dfrac 1{b^2}-2\cdot\dfrac 1b\geqslant -2,$$当且仅当 $\dfrac 1b=2$ 时取得等号，因此所求代数式的最小值为 $-2$．
&\geqslant \dfrac{\left(2a-\dfrac b2+\dfrac {3b}2\right)^2}{1+ \dfrac{3}{5}}\\
&=\dfrac{5(2a+b)^2}{8},\end{split}\]当且仅当\[\dfrac{2a-\dfrac b2}1=\dfrac{\dfrac{3b}2}{\dfrac{3}{5}},\]即 $a = \dfrac 32b$ 时取等号．此时 $c = 10b^2$，从而$$\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c=\dfrac 12\cdot\dfrac 1{b^2}-2\cdot\dfrac 1b\geqslant -2,$$当且仅当 $\dfrac 1b=2$ 时取得等号，因此所求代数式的最小值为 $-2$．
题目
答案
解析
备注
