对于 $c > 0$，当非零实数 $ a$，$b $ 满足 $4{a^2} - 2ab + {b^2} - c = 0$ 且使 $|2a + b|$ 最大时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
$ - 1$
【解析】
由 $4{a^2} - 2ab + {b^2} - c = 0$ 及柯西不等式得\[\begin{split} c&=\left(2a-\dfrac b2\right)^2+\dfrac {3b^2}4\\
&\geqslant \dfrac{\left(2a-\dfrac b2+\dfrac {3b}2\right)^2}{1+ 3}\\
&=\dfrac{(2a+b)^2}{4},\end{split}\]当且仅当\[\dfrac{2a-\dfrac b2}1=\dfrac{\dfrac{3b}2}{3},\]即 $2a = b$ 时取等号．此时 $c = b^2$，从而\[\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} = \dfrac{4}{b}+ \dfrac{4}{b^2} = 4{\left( {\dfrac{1}{b} +\dfrac 12} \right)^2} - 1,\]所以当 $b=-2$，$a=-1$，$c=4 $ 时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 取得最小值 $ -1$．
&\geqslant \dfrac{\left(2a-\dfrac b2+\dfrac {3b}2\right)^2}{1+ 3}\\
&=\dfrac{(2a+b)^2}{4},\end{split}\]当且仅当\[\dfrac{2a-\dfrac b2}1=\dfrac{\dfrac{3b}2}{3},\]即 $2a = b$ 时取等号．此时 $c = b^2$，从而\[\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} = \dfrac{4}{b}+ \dfrac{4}{b^2} = 4{\left( {\dfrac{1}{b} +\dfrac 12} \right)^2} - 1,\]所以当 $b=-2$，$a=-1$，$c=4 $ 时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 取得最小值 $ -1$．
题目
答案
解析
备注
