已知正实数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac1{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=1$，则 $m=abc$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
设 $\dfrac{1}{1+a}=x$，$\dfrac{1}{1+b}=y$，$\dfrac{1}{1+c}=z$，则问题转化为
新问题 已知正实数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求\[m=\left(\dfrac 1x-1\right)\left(\dfrac 1y-1\right)\left(\dfrac 1z-1\right)\]的最小值．
化齐次，有\[\begin{split} m&=\left(\dfrac {x+y+z}x-1\right)\left(\dfrac {x+y+z}y-1\right)\left(\dfrac {x+y+z}z-1\right)\\
&=\dfrac{(y+z)(z+x)(x+y)}{xyz}\\
&\geqslant \dfrac{2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{zx}\cdot 2\sqrt{xy}}{xyz}\\
&=8,\end{split}\]等号当 $x=y=z$，即 $a=b=c=2$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $8$．
化齐次，有\[\begin{split} m&=\left(\dfrac {x+y+z}x-1\right)\left(\dfrac {x+y+z}y-1\right)\left(\dfrac {x+y+z}z-1\right)\\
&=\dfrac{(y+z)(z+x)(x+y)}{xyz}\\
&\geqslant \dfrac{2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{zx}\cdot 2\sqrt{xy}}{xyz}\\
&=8,\end{split}\]等号当 $x=y=z$，即 $a=b=c=2$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $8$．
题目
答案
解析
备注
