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如图，设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，不经过焦点的直线上有三个不同的点 $A$，$B$，$C$，其中点 $A$，$B$ 在抛物线上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，则 $\triangle BCF$ 与 $\triangle ACF$ 的面积之比是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{{\left|{BF}\right|}-1}{{\left|{AF}\right|}-1}$
B: $\dfrac{{\left|{BF}\right|}^2-1}{{\left|{AF}\right|}^2-1}$
C: $\dfrac{{\left|{BF}\right|}+1}{{\left|{AF}\right|}+1}$
D: $\dfrac{{\left|{BF}\right|}^2+1}{{\left|{AF}\right|}^2+1}$
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的定义
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
A
【解析】
本题先根据三角形等高的条件得到 $\triangle BCF$ 与 $\triangle ACF$ 的面积之比是 $BC $ 与 $AC $ 的比，然后利用三角行相似的性质和抛物线的定义即可求解．如图，过 $ A $，$ B $ 分别向 $ y $ 轴作垂线，垂足分别为 $M $，$ N $．当 $\triangle BCF$ 与 $\triangle ACF$ 的底边分别是 $ BC $ 与 $AC $ 时，两个三角形等高．所以 $\triangle BCF$ 与 $\triangle ACF$ 的面积之比是 $BC $ 与 $AC $ 的比，亦为 $ BN$ 与 $AM $ 的比，根据抛物线的定义知，该比为 $\dfrac{{\left|{BF}\right|}-1}{{\left|{AF}\right|}-1}$．
题目 答案 解析 备注
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