题目 已知数列 $\{a_n\}$ 是单调递减数列，若 $a_n=-n^3+n^2+tn$，则 $t$ 的取值范围是<nn> </nn>． 答案 $(-\infty,4)$ 解析 根据题意，有\[\Delta a_n=-(3n^2+3n+1)+(2n+1)+t=-3n^2-n+t,\]于是\[\forall n\in\mathbb N^{\ast},-3n^2-n+t<0,\]因此 $t$ 的取值范围是 $(-\infty,4)$． 备注 题意即 $a_{n+1}-a_n<0$ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 都成立，因此\[\begin{split}a_{n+1}-a_n&=[-(n+1)^3+(n+1)^2+t(n+1)]-[-n^3+n^2+tn]\\&=-3n^3-n+t\\&<0.\end{split}\]再结合函数 $f(x)=x^3+x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，故只需 $t<4$．<br/>所以 $t$ 的取值范围为 $(-\infty,4)$．