已知 $x,y$ 是正实数，且 $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2y+1}=\dfrac 13$，则 $x^2+4y^2-26xy$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-300$
【解析】
等价于
新问题 已知 $x,y$ 是正实数，且 $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac 13$，求 $x^2+y^2-13xy$ 的最小值．
解 此时条件可以整理为\[xy=2x+2y+5,\]于是\[\begin{split} x^2+y^2-13xy&=(x+y)^2-15xy\\
&=(x+y)^2-30(x+y)-75\\
&\geqslant -300,\end{split}\]等号当 $x+y=15$，可以计算出\[(x,y)=\left(\dfrac{15-\sqrt{85}}2,\dfrac{15+2\sqrt{85}}2\right)\]时可以取得，因此所求最小值为 $-300$．
&=(x+y)^2-30(x+y)-75\\
&\geqslant -300,\end{split}\]等号当 $x+y=15$，可以计算出\[(x,y)=\left(\dfrac{15-\sqrt{85}}2,\dfrac{15+2\sqrt{85}}2\right)\]时可以取得，因此所求最小值为 $-300$．
题目
答案
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