已知 $(1+x)^{50}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{50}x^{50}$，则 $a_1+2a_2+3a_3+\cdots+25a_{25}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$50\cdot 2^{48}$
【解析】
根据已知，有$$a_k={\rm C}_{50}^k,k=0,1,2,\cdots,50.$$由组合恒等式$$\dfrac{{\rm C}_n^m}{{\rm C}_{n-1}^{m-1}}=\dfrac nm,$$于是可得$$m{\rm C}_n^m=n{\rm C}_{n-1}^{m-1}.$$这样就可以给二项式系数分别配给相应的系数．
将此恒等式应用到本题，所求代数式$$\sum_{k=1}^{25}k{\rm C}_{50}^k=\sum_{k=1}^{25}50{\rm C}_{49}^{k-1}=50\cdot 2^{48}.$$
将此恒等式应用到本题，所求代数式$$\sum_{k=1}^{25}k{\rm C}_{50}^k=\sum_{k=1}^{25}50{\rm C}_{49}^{k-1}=50\cdot 2^{48}.$$
题目
答案
解析
备注
