设 $A$，$B$ 是有限集，定义：$d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$，其中 ${\mathrm{card}}\left(A\right)$ 表示有限集 $A$ 中元素的个数．
命题 ①：对任意有限集 $A$，$B$，“$A\neq B$”是“$d\left(A,B\right)>0$”的充分必要条件；
命题 ②：对任意有限集 $A$，$B$，$C$，$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．
\((\qquad)\)
命题 ①：对任意有限集 $A$，$B$，“$A\neq B$”是“$d\left(A,B\right)>0$”的充分必要条件；
命题 ②：对任意有限集 $A$，$B$，$C$，$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．
\((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
这是一道集合的新定义的问题，关键是要抓住交集和并集中集合元素的变化，对于充分必要条件的问题要注意充分性、必要性都要证明．因为 $ \left(A\cap B\right)\subseteq \left(A\cup B\right) $，所以 $d\left(A,B\right)\geqslant 0$．
当 $ A=B $ 时，$ A\cup B=A\cap B=A $，所以\[\begin{split}d\left(A,B\right)&={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)\\&=\mathrm{card} \left(A\right)-\mathrm{card} \left(A\right)\\&=0;\end{split}\]反之，当 $d\left(A,B\right)=0$，即 ${\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$ 时，得\[ A\cap B = A\cup B ,\]所以 $ A=B$．由此可知 ① 为真命题；
由韦恩图知\[{\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right) -{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right), \]所以\[d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right).\]所以\[\begin{split}&d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right) -d\left(A,C\right)\\&={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)\\&+{\mathrm{card}}\left(B\right) +{\mathrm{card}}\left(C\right)-2{\mathrm{card}}\left(B\cap C\right)-\left[{\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(C\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)\right]\\&=2 {\mathrm{card}}\left(B\right)+2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2\left[ {\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)+{\mathrm{card}}\left(B\cap C\right)\right]\\&\geqslant2 {\mathrm{card}}\left(B\right)+2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2\left[ {\mathrm{card}}\left(\left(A\cup C\right)\cap B\right)+{\mathrm{card}}\left(A\cap B\cap C\right)\right]\\&=\left[2 {\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(\left(A\cup C\right)\cap B\right)\right]+\left[2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\cap C\right)\right]\geqslant 0.\end{split} \]所以 $d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．故命题 ② 为真命题．
当 $ A=B $ 时，$ A\cup B=A\cap B=A $，所以\[\begin{split}d\left(A,B\right)&={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)\\&=\mathrm{card} \left(A\right)-\mathrm{card} \left(A\right)\\&=0;\end{split}\]反之，当 $d\left(A,B\right)=0$，即 ${\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$ 时，得\[ A\cap B = A\cup B ,\]所以 $ A=B$．由此可知 ① 为真命题；
由韦恩图知\[{\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right) -{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right), \]所以\[d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right).\]所以\[\begin{split}&d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right) -d\left(A,C\right)\\&={\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)\\&+{\mathrm{card}}\left(B\right) +{\mathrm{card}}\left(C\right)-2{\mathrm{card}}\left(B\cap C\right)-\left[{\mathrm{card}}\left(A\right) +{\mathrm{card}}\left(C\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)\right]\\&=2 {\mathrm{card}}\left(B\right)+2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2\left[ {\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)+{\mathrm{card}}\left(B\cap C\right)\right]\\&\geqslant2 {\mathrm{card}}\left(B\right)+2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2\left[ {\mathrm{card}}\left(\left(A\cup C\right)\cap B\right)+{\mathrm{card}}\left(A\cap B\cap C\right)\right]\\&=\left[2 {\mathrm{card}}\left(B\right)-2{\mathrm{card}}\left(\left(A\cup C\right)\cap B\right)\right]+\left[2{\mathrm{card}}\left(A\cap C\right)-2{\mathrm{card}}\left(A\cap B\cap C\right)\right]\geqslant 0.\end{split} \]所以 $d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$．故命题 ② 为真命题．
题目
答案
解析
备注
