设 $(1+x-x^2)^{10}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{20}x^{20}$，则 $a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$-9$
【解析】
令 $x=0$，得 $a_0=1$．
两侧求导\[\begin{split}10(1+x-x^2)^9(1-2x)&=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots +20a_{20}x^{19}.\end{split}\]令 $x=1$，则有$$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=-10,$$从而$$a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=-9.$$
两侧求导\[\begin{split}10(1+x-x^2)^9(1-2x)&=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots +20a_{20}x^{19}.\end{split}\]令 $x=1$，则有$$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=-10,$$从而$$a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=-9.$$
题目
答案
解析
备注
