已知 $(1+\sqrt 3)^n=a_n+b_n\sqrt 3$，其中 $a_n,b_n$ 为整数，则 $\lim\limits_{n\to+\infty}{\dfrac{a_n}{b_n}}=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
根据题意有\[{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^n} = {a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\]于是$$\begin{cases}
{a_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^n} + {{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^n}} \right], \cr
{b_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^n}} \right] . \cr
\end{cases}$$因此\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \sqrt 3 .\]
{a_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^n} + {{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^n}} \right], \cr
{b_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^n}} \right] . \cr
\end{cases}$$因此\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \sqrt 3 .\]
题目
答案
解析
备注
