存在函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意 $x\in{\mathbb{R}}$ 都有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
此题的本质是，满足题意的函数需要满足括号里的式子与右边等式的式子是一一对应的．若 $x_1=\dfrac{\mathrm \pi} 6$，$x_2=\dfrac{\mathrm \pi} 3$，则 $\sin 2x_1=\sin 2x_2$，但是显然 $\sin x_1=\sin x_2$ 和 $x_1^2+x_1=x_2^2+x_2$ 不成立，所以A、B不成立；
若 $x_1=-1$，$x_2=1$，则 $x_1^2+1=x_2^2+1$，但是 $|x_1+1|=|x_2+1|$ 不成立，所以C不成立；
对于任意的 $x_1,x_2$，当 $x_1\ne x_2$ 时，若\[x_1^2+2x_1=x_2^2+2x_2,\]即\[\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+2\right)=0,\]可得\[x_1+x_2+2=0,\]于是\[x_1+1=-x_2-1.\]所以\[|x_1+1|=|x_2+1|.\]同样可以得到：若 $x_1^2+2x_1\ne x_2^2+2x_2$，则 $|x_1+1|\ne |x_2+1|$，所以D正确．
事实上，$\sqrt{\left|{x+1}\right|}=\sqrt{x^2+2x+1}$，令 $x^2+2x=t$，$t\in \left[-1,+\infty\right)$，则 $f\left(t\right)=\sqrt {t+1}$．所以若函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$，则D中函数满足条件．
若 $x_1=-1$，$x_2=1$，则 $x_1^2+1=x_2^2+1$，但是 $|x_1+1|=|x_2+1|$ 不成立，所以C不成立；
对于任意的 $x_1,x_2$，当 $x_1\ne x_2$ 时，若\[x_1^2+2x_1=x_2^2+2x_2,\]即\[\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2+2\right)=0,\]可得\[x_1+x_2+2=0,\]于是\[x_1+1=-x_2-1.\]所以\[|x_1+1|=|x_2+1|.\]同样可以得到：若 $x_1^2+2x_1\ne x_2^2+2x_2$，则 $|x_1+1|\ne |x_2+1|$，所以D正确．
事实上，$\sqrt{\left|{x+1}\right|}=\sqrt{x^2+2x+1}$，令 $x^2+2x=t$，$t\in \left[-1,+\infty\right)$，则 $f\left(t\right)=\sqrt {t+1}$．所以若函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$，则D中函数满足条件．
题目
答案
解析
备注
