查看数据源：599165c42bfec200011e0b15
在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB \parallel DC$，$AB=2$，$BC=1$，$\angle ABC =60^\circ$．点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $BC$ 和 $DC$ 上，且 $\overrightarrow {BE}=\dfrac 23 \overrightarrow {BC}$，$\overrightarrow {DF}=\dfrac {1}{6}\overrightarrow {DC}$，则 $\overrightarrow {AE}\cdot \overrightarrow {AF}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    定比分点坐标公式
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
【答案】
$\dfrac {29}{18}$
【解析】
以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正方向建立平面直角坐标系，则 $B(2,0)$，$C\left(\dfrac 32,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$D\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，于是根据定比分点坐标公式可得\[E\left(\dfrac{2\cdot 1+\dfrac 32\cdot 2}{1+2},\dfrac{0\cdot 1+\dfrac{\sqrt 3}2\cdot 2}{1+2}\right),F\left(\dfrac{\dfrac 12\cdot 5+\dfrac 32\cdot 1}{5+1},\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2\cdot 5+\dfrac{\sqrt 3}2\cdot 1}{5+1}\right),\]即\[E\left(\dfrac 53,\dfrac{\sqrt 3}3\right),F\left(\dfrac 23,\dfrac{\sqrt 3}2\right),\]因此\[\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left(\dfrac 53,\dfrac{\sqrt 3}3\right)\cdot \left(\dfrac 23,\dfrac{\sqrt 3}2\right)=\dfrac{29}{18}.\]
题目 答案 解析 备注
0.113113s