已知函数 $f(x)=\dfrac ax-x$，对任意 $x\in (0,1)$，有 $f(x)\cdot f(1-x)\geqslant 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 14\right]\cup\left[1,+\infty \right)$
【解析】
通过换元法，将四次问题转化为二次问题，这也是处理高次问题的一个常见思路：
原不等式即$$\left(\dfrac ax-x\right)\left[\dfrac{a}{1-x}-(1-x)\right]\geqslant 1,$$因为 $x\in(0,1)$，所以上式可以变形为$$\left[x(1-x)\right ]^2+(2a-1)x(1-x)+a(a-1)\geqslant 0.$$令 $t=x(1-x)$，于是有 $-a\geqslant \dfrac{1}{4}$ 或 $-a+1\leqslant 0$，解得 $a\leqslant -\dfrac{1}{4}$ 或 $a\geqslant 1$．
原不等式即$$\left(\dfrac ax-x\right)\left[\dfrac{a}{1-x}-(1-x)\right]\geqslant 1,$$因为 $x\in(0,1)$，所以上式可以变形为$$\left[x(1-x)\right ]^2+(2a-1)x(1-x)+a(a-1)\geqslant 0.$$令 $t=x(1-x)$，于是有 $-a\geqslant \dfrac{1}{4}$ 或 $-a+1\leqslant 0$，解得 $a\leqslant -\dfrac{1}{4}$ 或 $a\geqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
