已知函数 $f(x)$ 是定义在 $[-4, +\infty)$ 的增函数，要使得对于定义域的一切实数 $x$，不等式 $f(\cos x- b^2) \geqslant f(\sin^2 x- b- 3)$ 恒成立，则实数 $b$ 的范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1-2\sqrt 2}{2},1\right]$
【解析】
依题意 $\cos x - {b^2} \geqslant {\sin ^2}x - b - 3 \geqslant - 4$．则有$$\begin{cases} - {\left( {\cos x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{5}{4} \leqslant - {b^2} + b + 3\\{\sin ^2}x - b - 3 \geqslant - 4\end{cases},$$于是$$\begin{cases} - {b^2} + b + 3 \geqslant \dfrac{5}{4}\\ b \leqslant 1\end{cases},$$解得$$\dfrac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant b \leqslant 1.$$
题目
答案
解析
备注
