某学校数学课外活动小组，在坐标纸上模拟设计沙漠植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_k(x_k,y_k)$ 处，其中 $x_1=1,y_1=1$，当 $k\geqslant2$ 时，$$\begin{cases}x_k=x_{k-1}+1-5\left[\dfrac{k-1}{5}\right]+5\left[\dfrac{k-2}{5}\right],\\y_k=y_{k-1}+\left[\dfrac{k-1}{5}\right]-\left[\dfrac{k-2}{5}\right].\end{cases}$$其中，$[a]$ 表示实数 $a$ 的整数部分，例如 $[2.6]=2,[0.6]=0$．按此方案，第 $2008$ 课树种植点的坐标为 ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
$(3,402)$
【解析】
分析题意，令 $A_k= T\left( {\dfrac{k - 1}{5}} \right) - T\left( {\dfrac{k - 2}{5}} \right)$，画出其散点图．
由此归纳出当 $k$ 除 $5$ 余 $1$ 时 $A_k=1$，否则 $A_k=0$．
据此分析当 $k$ 变化时坐标的变化，如图．
$$(1,1)\to (2,1)\to (3,1)\to (4,1) \to (5,1) \to (1,2)\to \cdots.$$因此第 $6$ 棵树坐标为 $(1,2)$，第 $2008$ 棵树坐标为 $(3,402)$．
由此归纳出当 $k$ 除 $5$ 余 $1$ 时 $A_k=1$，否则 $A_k=0$．据此分析当 $k$ 变化时坐标的变化，如图．
$$(1,1)\to (2,1)\to (3,1)\to (4,1) \to (5,1) \to (1,2)\to \cdots.$$因此第 $6$ 棵树坐标为 $(1,2)$，第 $2008$ 棵树坐标为 $(3,402)$．
题目
答案
解析
备注
