若不等式 $k\sin^2B+\sin A\sin C>19\sin B\sin C$ 对任意 $\triangle ABC$ 都成立，则实数 $k$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$100$
【解析】
根据题意，有\[k>\dfrac{19bc-ac}{b^2},\]不妨设 $b=1$，则\[\begin{split} \dfrac{19bc-ac}{b^2}&=19c-ac\\
&<19c-|c-1|\cdot c,\end{split}\]记右侧代数式为 $m$．
情形一 $0<c\leqslant 1$，此时 $m<19$．
情形二 $c>1$，此时\[m=-c^2+20c\leqslant 200,\]等号当 $c=10$ 时取得，因此 $m\leqslant 100$．
综上所述，$m$ 的上确界为 $100$，当 $(a,b,c)\to (9,1,10)$ 时取得．因此所求实数 $k$ 的最小值为 $100$．
&<19c-|c-1|\cdot c,\end{split}\]记右侧代数式为 $m$．
综上所述，$m$ 的上确界为 $100$，当 $(a,b,c)\to (9,1,10)$ 时取得．因此所求实数 $k$ 的最小值为 $100$．
题目
答案
解析
备注
