已知实数 $a,b,c$ 满足 $b^2+c^2=1$，且存在两条互相垂直的直线与函数 $f(x)=ax+b\cos x+c\sin x$ 的图象都相切，则 $a+\sqrt 2b+\sqrt 3c$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$
【解析】
由于函数\[f(x)=ax+\sin(x+\varphi),\]于是其导函数的取值范围是 $[-1+a,1+a]$，根据题意，有\[(-1+a)(1+a)\leqslant -1,\]于是 $a=0$，进而\[\sqrt 2b +\sqrt 3c=\left(\sqrt 2,\sqrt 3\right)\cdot (b,c),\]取值范围是 $\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$．
题目
答案
解析
备注
