已知函数 $f\left(x \right)= $ $a\ln \left({x + 1} \right)- {x^2}$，在区间 $\left({0,1} \right)$ 内任取两个实数 $p$，$q$，且 $p \ne q$，不等式 $\dfrac{{f\left( {p + 1} \right) - f\left( {q + 1} \right)}}{p - q} > 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[15,+\infty\right)$
【解析】
不妨设 $p-q>0$，则$$ \dfrac{{f\left( {p + 1} \right) - f\left( {q + 1} \right)}}{p - q} > 1,$$等价于$$f\left( {p + 1} \right) - f\left( {q + 1} \right)>p-q,$$即$$f\left( {p + 1} \right) -p> f\left( {q + 1} \right) -q.$$构造函数 $g(x)=f(x+1)-x$，只需要 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内是单调递增函数即可．
题目
答案
解析
备注
