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已知函数 $f(x)=\log_a\left(ax^2-x+\dfrac{1}{2}\right)$ 在区间 $[1,2]$ 上的值恒正，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{8}\right)\cup \left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
【解析】
情形一 当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增，故$$f(1)=\log_a\left(a-\dfrac 12\right)>0,$$即$$a-\dfrac 12>1,$$解得 $a>\dfrac{3}{2}$．
情形二 当 $\dfrac{1}{2}<a<1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递减，故$$f(2)=\log_a\left(4a-\dfrac 32\right)>0,$$即$$0<4a-\dfrac 32<1,$$解得 $\dfrac 12<a<\dfrac{5}{8}$．
情形三 当 $0<a\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，则有$$a-1+\dfrac{1}{2}\leqslant 0,$$所以当 $x=1$ 时，$f(x)$ 无意义，不满足条件．
综上知，$a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{8}\right)\cup \left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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