已知 $\triangle ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 构成等差数列，且 $a^2+b^2+c^2=21$，则实数 $b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\sqrt 6,\sqrt 7\right]$
【解析】
设 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则由 $a,b,c$ 构成等差数列可得\[z+x=2y,\]此时\[(y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2=21,\]于是\[(3z+x)^2+(2z+2x)^2+(3x+z)^2=84,\]即\[7x^2+10xz+7z^2=42.\]一方面，有\[7(x+z)^2=7x^2+14xz+7z^2>42,\]于是\[x+z>\sqrt 6,\]且当 $x\to 0$ 时，$x+z\to \sqrt 6$．
另一方面，有\[6(x+z)^2=6x^2+12xz+6z^2\leqslant 7x^2+10xz+7z^2=42,\]于是\[x+z\leqslant \sqrt 7,\]等号当 $x=z$ 时取得．
综上所述，实数 $b$ 的取值范围是 $\left(\sqrt 6,\sqrt 7\right]$．
另一方面，有\[6(x+z)^2=6x^2+12xz+6z^2\leqslant 7x^2+10xz+7z^2=42,\]于是\[x+z\leqslant \sqrt 7,\]等号当 $x=z$ 时取得．
综上所述，实数 $b$ 的取值范围是 $\left(\sqrt 6,\sqrt 7\right]$．
题目
答案
解析
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