已知 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，且 $AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则实数 $\lambda=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac 12 $
【解析】
如图，记 $\angle EAG=\alpha$，$\angle GAB=\beta$，$\angle GBA=\gamma $．
有$$\tan\alpha=\dfrac{EG}{AG}=\dfrac 12\cdot\dfrac{GB}{AG}=\dfrac 12\tan\beta,$$记 $\tan\beta =t$，则$$\tan A=\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{3t}{2-t^2}.$$注意到 $\beta+\gamma=90^\circ$，于是类似的可得$$\tan B=\dfrac{3\cdot \dfrac {1}{t}}{2-\left(\dfrac {1}{t}\right)^2}=\dfrac{3t}{2t^2-1}.$$另一方面，有$$\lambda=-\tan(A+B)\cdot \left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)=-\dfrac{\left(\tan A+\tan B\right)^2}{\tan A\cdot\tan B\cdot\left(1-\tan A\cdot \tan B\right)},$$将 $\tan A$ 和 $\tan B$ 的值代入运算得$$\lambda =\dfrac 12.$$
有$$\tan\alpha=\dfrac{EG}{AG}=\dfrac 12\cdot\dfrac{GB}{AG}=\dfrac 12\tan\beta,$$记 $\tan\beta =t$，则$$\tan A=\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{3t}{2-t^2}.$$注意到 $\beta+\gamma=90^\circ$，于是类似的可得$$\tan B=\dfrac{3\cdot \dfrac {1}{t}}{2-\left(\dfrac {1}{t}\right)^2}=\dfrac{3t}{2t^2-1}.$$另一方面，有$$\lambda=-\tan(A+B)\cdot \left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)=-\dfrac{\left(\tan A+\tan B\right)^2}{\tan A\cdot\tan B\cdot\left(1-\tan A\cdot \tan B\right)},$$将 $\tan A$ 和 $\tan B$ 的值代入运算得$$\lambda =\dfrac 12.$$
题目
答案
解析
备注
