将集合 $\{2^x+2^y+2^z\mid x,y,z \in \mathbb N,x<y<z\}$ 中的数从小到大排列，第 $100$ 个是 （用数字作答）．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$577$
【解析】
满足 $0\leqslant x<y<z \leqslant n$ 的 $(x,y,z)$ 组合共有 $\mathrm C_{n+1}^3$ 个．
注意$$\mathrm C_{9}^3=84<100<120=\mathrm C_{10}^3,$$因此第 $100$ 个数满足 $z=9$．
使得 $0\leqslant x<y \leqslant m$ 的 $(x,y)$ 组合共有 $\mathrm C_{m+1}^2$ 个，注意$$\mathrm C_{9}^3+ \mathrm C_{6}^2=99,$$因此第 $100$ 个数满足 $y=6$，$x=0$．因此第 $100$ 个数是\[2^9+2^6+2^0=577.\]
注意$$\mathrm C_{9}^3=84<100<120=\mathrm C_{10}^3,$$因此第 $100$ 个数满足 $z=9$．
使得 $0\leqslant x<y \leqslant m$ 的 $(x,y)$ 组合共有 $\mathrm C_{m+1}^2$ 个，注意$$\mathrm C_{9}^3+ \mathrm C_{6}^2=99,$$因此第 $100$ 个数满足 $y=6$，$x=0$．因此第 $100$ 个数是\[2^9+2^6+2^0=577.\]
题目
答案
解析
备注
