已知函数 $f(x)$ 对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x+2)=\dfrac{f(x)-1}{f(x)+1}$，且 $f(1)=-2$，则 $f(2013)=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
因为\[\begin{split}f(x+4)&=f(x+2+2)\\&=\dfrac{f(x+2)-1}{f(x+2)+1}\\&=\dfrac{\dfrac{f(x)-1}{f(x)+1}-1}{\dfrac{f(x)-1}{f(x)+1}+1}\\&=-\dfrac{1}{f(x)},\end{split}\]故\[f(x+8)=f(x),\]所以\[f(2013)=f(5)=-\dfrac{1}{f(1)}=\dfrac{1}{2}.\]
题目
答案
解析
备注
