在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$AC=2$，$M$ 为 $AB$ 中点，将 $\triangle ACM$ 沿 $CM$ 折起，使 $A,B$ 之间的距离为 $2\sqrt2$，则点 $M$ 到面 $ABC$ 的距离为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由题意得$$MA=MB=MC=2,$$所以 $M$ 在面 $ABC$ 上的射影 $O$ 为 $ABC$ 的外心．
因为$$AB=2\sqrt2,AC=2,BC=2\sqrt3,$$所以$$AB^2+AC^2=BC^2,$$即 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，所以 $O$ 是 $BC$ 的中点，$MO$ 即为所求，故$$MO=\sqrt{MC^2-OC^2}=1.$$
因为$$AB=2\sqrt2,AC=2,BC=2\sqrt3,$$所以$$AB^2+AC^2=BC^2,$$即 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，所以 $O$ 是 $BC$ 的中点，$MO$ 即为所求，故$$MO=\sqrt{MC^2-OC^2}=1.$$
题目
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备注
