已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0,a_{n+1}=a_n+1+2\sqrt {1+a_n}(n=1,2,\cdots)$，则 $a_n=$ ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$n^2-1$
【解析】
根据题意，有\[a_{n+1}+1=\left(\sqrt{a_n+1}+1\right)^2,\]于是\[\sqrt{a_{n+1}+1}-\sqrt{a_n+1}=1,\]从而\[\sqrt{a_n+1}=n,\]因此\[a_n=n^2-1,n\in\mathbb N^{\ast}.\]
题目
答案
解析
备注
