已知 $k$ 是不小于 $2$ 的正整数，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k^n}[{\log_k}i]=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{k^n(nk-n-k)+k}{k-1}+n$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sum_{i=1}^{k^n}[{\log_k}i]&=\sum_{j=1}^{n}\left[(j-1)\cdot (k^j-k^{j-1})\right]+n\\
&=\dfrac{k^n(nk-n-k)+k}{k-1}+n.\end{split}\]
&=\dfrac{k^n(nk-n-k)+k}{k-1}+n.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
