设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$，$xyz\ne 0$，$C$ 为 $\triangle ABC$ 的内角，则 $\cos{2C}=$ ．（用 $x,y,z$ 表示）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {z^2-x^2-y^2}{2xy}$
【解析】
因为 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ 满足$$\sin 2A\overrightarrow {OA}+\sin 2B\overrightarrow {OB}+\sin{2C}\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0},$$所以有 $x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$，可以构造出另一个三角形 $A'B'C'$：
当 $\triangle ABC$ 为锐角三角形时，$$A'=\pi-2A,B'=\pi-2B,C'=\pi-2C,$$从而有 $\triangle A'B'C'$ 的三边 $a',b',c'$ 满足$$a':b':c'=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=x:y:z,$$故$$\cos 2C=-\cos C'=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$当 $\triangle ABC$ 为钝角三角形时，不妨设 $A$ 为钝角，可以令$$A'=2A-\pi,B'=2B,C'=2C,$$从而有 $\triangle A'B'C'$ 的三边 $a',b',c'$ 满足$$a':b':c'=(-\sin 2A):\sin 2B:\sin 2C=(-x):y:z,$$故$$\cos 2C=\cos C'=\dfrac {(-x)^2+y^2-z^2}{2(-x)y}=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$
当 $\triangle ABC$ 为锐角三角形时，$$A'=\pi-2A,B'=\pi-2B,C'=\pi-2C,$$从而有 $\triangle A'B'C'$ 的三边 $a',b',c'$ 满足$$a':b':c'=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=x:y:z,$$故$$\cos 2C=-\cos C'=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$当 $\triangle ABC$ 为钝角三角形时，不妨设 $A$ 为钝角，可以令$$A'=2A-\pi,B'=2B,C'=2C,$$从而有 $\triangle A'B'C'$ 的三边 $a',b',c'$ 满足$$a':b':c'=(-\sin 2A):\sin 2B:\sin 2C=(-x):y:z,$$故$$\cos 2C=\cos C'=\dfrac {(-x)^2+y^2-z^2}{2(-x)y}=-\dfrac {x^2+y^2-z^2}{2xy}.$$
题目
答案
解析
备注
