设 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，且 $3\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$，则角 $C$ 的大小为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{2}$
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$．因为 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，所以满足$$a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0},$$对比题设条件有 $a=3,b=4,c=5$，所以$$a^2+b^2=c^2.$$因此角 $C$ 的大小为 $\dfrac {\pi}{2}$．
题目
答案
解析
备注
