设 $x,y$ 是正实数，且 $x+y=1$，则 $\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac14$
【解析】
设 $x+2=s,y+1=t$，则\[\begin{split}\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1}&=\dfrac{(s-2)^2}{s}+\dfrac{(t-1)^2}{t}\\&=\left(s-4+\dfrac4s\right)+\left(t-2+\dfrac1t\right)\\&=\left(\dfrac4s+\dfrac1t\right)-2\\&=\dfrac14(s+t)\left(\dfrac4s+\dfrac1t\right)-2\\&=\dfrac14\left(\dfrac{4t}{s}+\dfrac{s}{t}+5\right)-2\\&\geqslant\dfrac14,\end{split}\]当且仅当 $\dfrac{4t}{s}=\dfrac{s}{t}$，即 $x=\dfrac23,y=\dfrac13$ 时，等号成立．因此所求代数式的最小值为 $\dfrac14$．
题目
答案
解析
备注
