矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$AD=3$，$M,N$ 分别是线段 $BC,CD$ 上的点，且 $\dfrac 1{CM^2}+\dfrac 1{CN^2}=1$，若 $\overrightarrow {AC}=x\overrightarrow {AM}+y\overrightarrow {AN}$，则 $x+y$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 54$
【解析】
先分析条件中 $\dfrac 1{CM^2}+\dfrac 1{CN^2}=1$ 的含义：
连接 $MN$，去分母得到$$CN^2+CM^2=CM^2\cdot CN^2=MN^2,$$于是有 $CM\cdot CN=MN$，由三角形 $CMN$ 的面积公式得到 $C$ 到 $MN$ 的距离为 $1$，即 $MN$ 是以 $C$ 为圆心，$1$ 为半径的圆的切线（并不是所有的切线都满足条件，与矩形的边 $BC,CD$ 有交点的才满足条件），记 $MN\cap AC=C'$，如图：
由 $M,N,C'$ 三点共线知 $\overrightarrow {AC'}=x'\overrightarrow {AM}+y'\overrightarrow {AN}$，其中 $x'+y'=1$．从而有 $\overrightarrow {AC}=\dfrac {AC}{AC'}\cdot\overrightarrow{AC'}$ 得到$$x+y=\dfrac {AC}{AC'}=\dfrac 5{AC'}.$$要求 $x+y$ 的最小值即求 $AC'$ 的最大值，由 $MN$ 为圆 $C$ 的切线知，当 $C'$ 在圆 $C$ 上时 $AC'$ 有最大值为 $5-1=4$（显然此时 $M,N$ 存在），故所求的最小值为 $\dfrac 54$．
连接 $MN$，去分母得到$$CN^2+CM^2=CM^2\cdot CN^2=MN^2,$$于是有 $CM\cdot CN=MN$，由三角形 $CMN$ 的面积公式得到 $C$ 到 $MN$ 的距离为 $1$，即 $MN$ 是以 $C$ 为圆心，$1$ 为半径的圆的切线（并不是所有的切线都满足条件，与矩形的边 $BC,CD$ 有交点的才满足条件），记 $MN\cap AC=C'$，如图：
由 $M,N,C'$ 三点共线知 $\overrightarrow {AC'}=x'\overrightarrow {AM}+y'\overrightarrow {AN}$，其中 $x'+y'=1$．从而有 $\overrightarrow {AC}=\dfrac {AC}{AC'}\cdot\overrightarrow{AC'}$ 得到$$x+y=\dfrac {AC}{AC'}=\dfrac 5{AC'}.$$要求 $x+y$ 的最小值即求 $AC'$ 的最大值，由 $MN$ 为圆 $C$ 的切线知，当 $C'$ 在圆 $C$ 上时 $AC'$ 有最大值为 $5-1=4$（显然此时 $M,N$ 存在），故所求的最小值为 $\dfrac 54$．
题目
答案
解析
备注
