考虑到外接圆的特性，有$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}.$$不妨设外接圆的半径为 $1$．已知条件两边分别与 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 作数量积，有$$\begin{cases}\overrightarrow {OA}\cdot \left(3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow {OC}\right)=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow 0,\\ \overrightarrow {OB}\cdot \left(3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow {OC}\right)=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow 0,\\ \overrightarrow {OC}\cdot \left(3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow {OC}\right)=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow 0,\end{cases}$$化简得$$\begin{cases} 4\cos\angle AOB+5\cos\angle AOC=-3,\\ 3\cos\angle AOB+5\cos\angle BOC=-4,\\3\cos\angle AOC+4\cos\angle BOC=-5.\end{cases}$$解得$$\begin{cases}\cos\angle AOB=0,\\ \cos\angle BOC=-\dfrac{4}{5},\\ \cos\angle AOC=-\dfrac{3}{5},\end{cases}$$所以 $\angle AOB=\dfrac{\pi}2$，故 $ C=\dfrac{\pi}4$．