已知三角形 $ABC$ 的外接圆圆心为 $O$，且 $3\overrightarrow {OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow {OC}=\overrightarrow 0$，则角 $C$ 等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {\pi}{4}$
【解析】
注意到 $\angle C=\dfrac 12\angle AOB$，因此直接以 $O$ 为起点求解．
如图，分别延长 $OA$、$OB$ 和 $CO$ 至 $A'$、$B'$、$C'$，使得 $\overrightarrow{OA'}=3\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB'}=4\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC'}=5\overrightarrow{CO}$．
根据题意，有$$\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'},$$于是四边形 $OA'C'B'$ 为平行四边形，且 $OA'=3$，$OB'=4$，$OC'=5$．
显然 $OA'C'B'$ 为矩形，$\angle A'OB'=\dfrac{\pi}2$，进而 $C=\dfrac{\pi}4$．
如图，分别延长 $OA$、$OB$ 和 $CO$ 至 $A'$、$B'$、$C'$，使得 $\overrightarrow{OA'}=3\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB'}=4\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC'}=5\overrightarrow{CO}$．
根据题意，有$$\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'},$$于是四边形 $OA'C'B'$ 为平行四边形，且 $OA'=3$，$OB'=4$，$OC'=5$．显然 $OA'C'B'$ 为矩形，$\angle A'OB'=\dfrac{\pi}2$，进而 $C=\dfrac{\pi}4$．
题目
答案
解析
备注
